Question

（2014?虹口区一模）如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AC1=c，点M为AB的中点，点N为BC的中点．

（2014?虹口区一模）如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AC1=c，点M为AB的中点，点N为BC的中点．（1）求长方体ABCD-A1B1C1D1的体积；（2）若a=4，b=2，c＝21，求异面直线A1M与B1N所成的角．

Answer 1

解：（1）连AC、AC₁，∵△ABC是直角三角形，∴AC＝

a2+b2

．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，∴C₁C⊥BC，C₁C⊥CD，
又DC∩BC=C，∴C₁C⊥平面ABCD，∴C₁C⊥AC．
又在Rt△ACC₁中，AC₁=c，AC＝

a2+b2

，∴CC1＝

c2?a2?b2

，
∴VABCD?A1B1C1D1＝ab

c2?a2?b2

（2）取AD的中点E，连A₁E、EM，
∵EN

∥ .

.

AB

∥ .

.

A1B1，∴四边形A₁B₁NE为平行四边形，
∴A₁E∥B₁N，∴∠EA₁M等于异面直线A₁M与B₁N所成的角或其补角．
∵AM=2，AE=1，AA₁=1，得A1M＝

5

，