Question

已知二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴有且只有一个公共点．（1）求该二次函数的图象的顶点坐标；（2）若P（n

已知二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴有且只有一个公共点．（1）求该二次函数的图象的顶点坐标；（2）若P（n，y1），Q（n+2，y2）是该二次函数的图象上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围．

Answer 1

（1）y=x²+2x+m=（x+1）²+m-1，对称轴为x=-1，
∵与x轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0．
∴函数图象的顶点坐标为（-1，0），
或：∵与x轴有且只有一个公共点，∴2²-4m=0，
∴m=1，
∴函数y=x²+2x+1=（x+1）²，
∴函数图象的顶点坐标是（-1，0）；

（2）∵P（n，y₁），Q（n+2，y₂）是该二次函数的图象上的两点，且y₁＞y₂，
n²+2n+1＞（n+2）²+2（n+2）+1，
化简整理得，4n+8＜0，
∴n＜-2，
∴实数n的取值范围是n＜-2．