Question

函数f（x）=x2+3xf′（1），在点（2，f（2））处的切线方程为______

函数f（x）=x2+3xf′（1），在点（2，f（2））处的切线方程为______．

Answer 1

∵f（x）=x²+3xf′（1），
∴f′（x）=2x+3f′（1），
∴f′（1）=2+3f′（1），
解得f′（1）=-1
∴f（x）=x²-3x，f′（x）=2x-3
∴f（2）=-2，f′（2）=1
∴函数在点（2，f（2））处的切线方程为y+2=x-2，即x-y-4=0
故答案为：x-y-4=0．

Answer 2

∵f(x)=x²+3xf‘(1)
∴f'(x)=2x+3f'(1)
令x=1，则有f'(1)=2*1+3f'(1) ∴f'(1)=-1
∴f(x)=x²-3x f'(x)=2x-3
∴f’(2)=2*2-3=1
f(2)=2²-3*2=-2
设过点(2，f(2))的切线方程为y=kx+b
则依上可知k=1，∴y=x+b
又切线过点(2，-2) ∴-2=2+b ∴b=-4
∴所求切线方程为y=x-4

此题考查的是导数的应用，对于一个函数，其导函数对应的是该函数图像的变化趋势，在函数的某一点，其导函数值是为函数在该点的切线方程的斜率，进而可以求得在该点的切线方程。对于任一函数均可以利用其导函数求出该函数在任一点的切线方程，还可以利用导函数求其极值点，进而求极值，并可求得该函数的单调区间。