Question

（2014?牡丹江二模）如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，顶点C在y轴上，OA、OB的长

（2014?牡丹江二模）如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，顶点C在y轴上，OA、OB的长是关于x的方程x2-25x+144=0的两个根（OA＞OB）．（1）求直线AC的解析式；（2）点P为AC边上的点，且∠ABP=∠CBP，求过点P的反比例函数解析式；（3）若Q为y轴上的点，问在坐标平面内是否存在K，使以B、C、Q、K为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出K点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵OA、OB的长是关于x的方程x²-25x+144=0的两个根（OA＞OB），
∴OA=16，OB=9，
∴A（-16，0），
∵∠ACB=∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠BCO=∠OAC，
∴△AOC∽△COB，
∴

OC

OB

=

OA

OC

，即OC²=OA?OB=144，
∴OC=12，即C（0，-12），
设直线AC解析式为y=kx+b，
将A与C坐标代入得：

?16k+b＝0 b＝?12

，
解得：k=-

3

4

，b=-12，
则直线AC解析式为y=-

3

4

x-12；
（2）在Rt△OBC中，OB=9，OC=12，
根据勾股定理得：BC=

92+122

=15，
同理得到AC=20，AB=OA+OB=25，
过P作PM⊥BA，垂足为M，
∵BP为∠AC平分线，且PC⊥BC，
∴BM=BC=15，PM=PC，AM=AB-BM=10，OM=AO-AM=16-10=6，
在Rt△APM中，设MP=x，则AP=AC-PC=AC-PM=20-x，
根据勾股定理得：AP²=AM²+PM²，即（20-x）²=10²+x²，
解得：x=

15

2

，即MP=

15

2

，
∴P（-6，-

15

2

），
设过P点的反比例解析式为y=

m

x

，
将P坐标代入得：m=45，
则反比例解析式为y=

45

x

；
（3）存在，如图所示，在x轴负半轴上，以O为圆心，OB长为半径截取OK=OB=9，在y轴正半轴上，以O为圆心，OC长为半径截取OQ=OC=12，连接BQ，KQ，KC，
∵OQ=OC，OB=OK，
∴四边形BQKC为平行四边形，
∵BQ=BC，
∴四边形BQKC为菱形，
则此时K坐标为（-9，0）．
同理，（9，-15），（9，15），（9，-

75

8

）也满足条件．
综上所述，K的坐标为（-9，0）或（9，-15）或（9，15）或（9，-

75

8

）