Question

已知：sin230°+sin290°+sin2150°＝32；sin25°+sin265°+sin2125°＝32sin220°+sin280°+sin2140°＝

已知：sin230°+sin290°+sin2150°＝32；sin25°+sin265°+sin2125°＝32sin220°+sin280°+sin2140°＝32通过观察上述三个等式的规律，请你写出一般性的命题：______=32（*），并给出（*）式的证明．

Answer 1

一般形式：sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）=

3

2

…（4分）
证明    左边=

1?cos2α

2

+

1?cos(2α+120°)

2

+

1?cos(2α+240°)

2

…（7分）
=

3

2

?

1

2

[cos2α+cos(2α+120°)+cos(2α+240°）]
=

3

2

?

1

2

[cos2α+cos2αcos120°?sin2αsin120°+cos2cos240°-sin2αsin240°]…（9分）
=

3

2

?

1

2

[cos2α?

1

2

cos2α?

3

2

sin2α?

1

2

cos2α+

3

2

sin2α]…（11分）
=

3

2

=右边
∴原式得证                                    …（12分）
（将一般形式写成 sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=

3

2

，
sin²（α-240°）+sin²（α-120°）+sin²α=

3

2

等均正确，其证明过程可参照给分．）
故答案为：sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）