Question

椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，P为椭圆C上任意一点．已知PF1?PF2

椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，P为椭圆C上任意一点．已知PF1?PF2的最大值为3，最小值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点（M、N不是左右顶点），且以MN为直径的圆过点A．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

解答：（1）解：∵P是椭圆上任一点，∴|PF₁|+|PF₂|=2a且a-c≤|PF₁|≤a+c，
∴y＝

PF1

?

PF2

＝|

PF1

|

|PF2

|cos∠F1PF2=

1

2

[|PF1|2+|PF2|2?4c2]
=

1

2

[|PF1|2+(|2a?|PF1|)2?4c2]=(|PF1|?a)2+a2?2c2…（2分）
当|PF₁|=a时，y有最小值a²-2c²；当|PF₂|=a-c或a+c时，y有最大值a²-c²．
∴

a2?c2＝3 a2?2c2＝2

，

a2＝4 c2＝1

，b²=a²-c²=3．
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．…（4分）
（2）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），将y=kx+m代入椭圆方程得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x1+x2＝

?8km

4k2+3

，x1x2＝

4m2?12

4k2+3

…（6分）
∵y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，y1y2＝k2x1x2+(km?2)(x1+x2)+m2，
∵MN为直径的圆过点A，∴

AM

?

AN

＝0，
∵右顶点为A，∴A（2，0）
∴

AM

=（x₁-2，y₁），

AN

=（x₂-2，y₂），
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0
∴7m²+16km+4k²=0，
∴m＝?

2

7

k或m=-2k都满足△＞0，…（9分）
若m=-2k直线l恒过定点（2，0）不合题意舍去，
若m＝?

2

7

k直线l：y＝k(x?

2

7

)恒过定点(

2

7

，0)．…（12分）