Question

已知函数f（x）=（x-1）ex-ax2，其中a为常数．（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在

已知函数f（x）=（x-1）ex-ax2，其中a为常数．（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上为单调区间，求a的取值范围．

Answer 1

（1）a=1时，f（x）=（x-1）e^x-x²，
∴f′（x）=x（e^x-2），
令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ln2，
∴函数f（x）在（-∞，0）和（ln2，+∞）上递增，
在（0，ln2）上递减．
（2）∵f′（x）=x（e^x-2a），
①令f′（x）＞0，
则

x＞0 ex?2a＞0 ln2a＜0

，
解得：0＜a＜

1

2

，
②令f′（x）＜0，
则

x＞0 ex?2a＜0

，
解得：0＜x＜ln2a，不合题意，
经验a=0，a=

1

2

时符合题意，
综合①②得：0≤a≤

1

2

．