Question

有关数学分析的两道大题。求大神。

Answer 1

7. 由连续性，如果结论不成立，那么只有两种情况：f(x)>x恒成立，或者f(x)<x恒成立
两种情况分别得到f(f(x))>x和f(f(x))<x，都和题设矛盾

8. 反证法，对f'积分两次得矛盾

追问

8题能推出什么矛盾呢？老师？

追答

把不等式右端记成M，不妨设M>0
如果|f'(x)|<=M恒成立，那么|f(x)|=|f'(ξ)(x-a)|<=M(x-a)
再积分一次int_a^b |f(x)| dx <= M(b-a)^2/2 = int_a^b f(x) dx /2 < int_a^b |f(x)| dx /2
这题条件很宽松，原不等式右端其实可以再乘上1/4

追问

非常感激您。

这道题我一直困扰在f（a）=f（b）=0，想在这个条件找线索，可咋也构思不出来。

Answer 2

七. 构造F(x)=f(x)-x，根据条件，f(x)∈(-∞，+∞)，F(f(x))=f(f(x))-f(x)=x-f(x)=-F(x)；这表明存在x，使得
F(x)≥0，同时F(f(x))≤0。如果对此x，f(x)=x，结论对。否则，例如x＜f(x)，由F(x)的连续性，则存在x‘∈(x，f(x))，使得F(x')=0。
八. |∫<a,b>f(x)dx|=|∫<a,b>((f(x)-f(a))/(x-a))*(x-a)dx|≤|∫<a,b>f'(ξ(x))(x-a)dx|≤max{|f'(x)||x∈[a,b]}1/2(b-a)^2；这个对么？