Question

已知，如图，△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，∠AEF=∠AFE。 求证：EF⊥ BC。

已知，如图，△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，∠AEF=∠AFE。 求证：EF⊥ BC。

Answer 1

证法一：如图1，作BC边上的高AD，D为垂足， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD 又∵∠BAC=∠E+∠AFE，∠AEF=∠AFE ∴∠CAD=∠E， ∴AD∥EF ∵AD⊥BC， ∴EF⊥BC 证法二：如图2，过点A作AG⊥EF于G  ∵∠AEF=∠AFE，AG=AG，∠AGE=∠AGF=90°， ∴△AGE≌△AGF ∵AB=AC， ∴∠B=∠C 又∵∠EAF=∠B+∠C， ∴∠EAG+∠GAF=∠B+∠C ∴∠EAG=∠C， ∴AG∥BC ∵AG⊥EF， ∴EF⊥BC 证法三：如图3，过点E作EH∥BC交BA的延长线于H  ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠H=∠B=∠C=∠AEH， ∵∠AEF=∠AFE，∠H+∠AFE+∠FEH=180°， ∴∠H+∠AEH+∠AEF+∠AFE=180°， ∴∠AEF+∠AEH=90°，即∠FEH=90°， ∴EF⊥EH，又EH∥BC， ∴EF⊥BC 证法四：如图4，延长EF交BC于K  ∵AB=AC， ∴∠B=∠C ∴∠B= （180°-∠BAC） ∵∠AEF=∠AFE， ∴∠AFE= （180°-∠EAF） ∵∠BFK=∠AFE ∴∠BFK= （180°-∠EAF） ∴∠B+∠BFK= （180°-∠BAC）+ （180°-∠EAF） = [360°-（∠EAF+∠BAC）] ∵∠EAF+∠BAC=180°， ∴∠B+∠BFK=90°， 即∠FKB=90° ∴EF⊥BC