Question

如图，正方形OABC边长为2，O是直角坐标系的原点，点A，C分别在x轴，y轴上．点P沿 着正方形的边，按O→A

如图，正方形OABC边长为2，O是直角坐标系的原点，点A，C分别在x轴，y轴上．点P沿 着正方形的边，按O→A→B的顺序运动，设点P经过的路程为x，△OPB的面积为y．（1）求出y与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围；（2）探索：当 y= 1 4 时，点P的坐标；（3）是否存在经过点（0，-1）的直线平分正方形OABC的面积？如果存在，求出这条直线的解析式；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）分两种情况： ①当点P在线段OA上运动时，如图1， y= 1 2 x×2， 即y=x，0＜x≤2； ②当点P在线段AB上运动时（不含点A），如图2， y= 1 2 （4-x）×2， 即y=-x+4，2＜x＜4； （2）由题意可知： ① 1 4 =x， 此时，点P（ 1 4 ，0）， ② 1 4 =-x+4， x= 15 4 ， x-2= 7 4 ． 此时，点P（2， 7 4 ）， 综合（2）中的①，②可得P（ 1 4 ，0）或P（2， 7 4 ）； （3）如图3，存在满足条件的直线． 设这条直线的解析式为y=kx-1， 由于直线平分正方形OABC的面积，可得：OM=BN，延长AB，交直线与点H， ∵△POM≌△HBN， ∴BH=OP=1， ∴H（2，3）， 由点H在直线上，得3=2k-1， ∴k=2， ∴所求直线的解析式为y=2x-1， 另法：由直线平分正方形AOCB的面积， 可知，直线过正方形AOCB的中心． ∴直线过（1，1）点， ∴直线的解析式为y=2x-1．