Question

设f（x）=e x （ax 2 +x+1）．（Ⅰ）若a＞0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）x=1时，f（x）有极值，证明：当

设f（x）=e x （ax 2 +x+1）．（Ⅰ）若a＞0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）x=1时，f（x）有极值，证明：当θ∈[0， π 2 ]时，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=e x （ax 2 +x+1）+e x （2ax+1）=e x [ax 2 +（2a+1）x+2]= a e x (x+ 1 a )(x+2) ． （i）当 a= 1 2 时， f ′ (x)= 1 2 e x (x+2 ) 2 ≥0 恒成立，∴函数f（x）在R上单调递增． （ii）当 0＜a＜ 1 2 时，则 1 a ＞2 ，即 - 1 a ＜-2 ． 由f′（x）＞0，解得 x＞-2或x＜- 1 a ；当f′（x）＜0时，解得 - 1 a ＜x＜-2 ． ∴函数f（x）在区间 (-∞，- 1 a ) 和（-2，+∞）上单调递增；在 (- 1 a ，-2) 上单调递减． （iii）当 a＞ 1 2 时，则 1 a ＜2 ，即 - 1 a ＞-2 ． 由f′（x）＞0，解得 x＞- 1 a 或x＜-2 ；由f′（x）＜0，解得 -2＜x＜- 1 a ． ∴函数f（x）在区间（-∞，-2）和（- 1 a ，+∞）上单调递增；在 (-2，- 1 a ) 上单调递减． （Ⅱ）∵当x=1时，f（x）有极值，∴f′（1）=0．∴ 3ae(1+ 1 a )=0 ，解得a=-1． ∴f（x）=e x （-x 2 +x+1），f′（x）=-e x （x-1）（x+2）． 令f′（x）＞0，解得-2＜x＜1，∴f（x）在[-2，1]上单调递增， ∵sinθ，cosθ∈[0，1]，∴|f（sinθ）-f（cosθ）|≤f（1）-f（0）=e-1＜2．