Question

如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），它的顶点为M，且正比例

如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），它的顶点为M，且正比例函数y=kx的图象与二次函数的图象相交于D、E两点．（1）求该二次函数的解析式和顶点M的坐标；（2）若点E的坐标是（2，-3），且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围；（3）试探究：抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC为等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3），
把（0，-3）代入得：a=1，
∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3），
即：y=x²-2x-3，
配方得：y=（x-1）²-4，
∴顶点M的坐标是（1，-4），
答：该二次函数的解析式是y=x²-2x-3，顶点M的坐标是（1，-4）．

（2）解：把E（2，-3）代入y=kx得：k＝?

3

2

，
∴正比例函数的解析式为y＝?

3

2

x，
∵把正比例函数与二次函数的解析式组成方程组

y＝? 3 2 x y＝x2?2x?3

，
-

3

2

x=x²-2x-3，
即2x²-x-6=0，
（2x+3）（x-2）=0，
x₁=-

3

2

，x₂=2，
当x₁=-

3

2

时，y₁=-

3

2

×（-

3

2

）=

9

4

，
当x₂=2时，y₂=-

3

2

×2=-3，
∴

x1＝? 3 2 y1＝ 9 4

，

x2＝2 y2＝?3

，
所以D(?

3

2

，

9

4

)，E（2，-3），
由图可知：当?

3

2

＜x＜2时，二次函数的值小于正比例函数的值，
答：根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围是-

3

2

＜x＜2．

（3）如图，存在四个这样的点P，
即：以A为圆心，AC为半径画弧，交直线x=1于P1(1，

6

)，P2(1，?

6

)两点，
以C为圆心，AC为半径画弧，交直线x=1于点P₃（1，0），
作线段AC的垂直平分线，交直线于点P₄（1，-1），
答：存在．点P的坐标是（1，

6

）或（1，-

6

）或（1，0）或（1，-1）．