Question

如图是一张“3×5”（表示边长分别为3和5）的长方形，现要把它分成若干张边长为整数的长方形（包括正方形

如图是一张“3×5”（表示边长分别为3和5）的长方形，现要把它分成若干张边长为整数的长方形（包括正方形）纸片，并要求分得的任何两张纸片都不完全相同．（1）能否分成5张满足上述条件的纸片？（2）能否分成6张满足上述条件的纸片？若能分，用“a×b”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图；若不能分，请说明理由．

Answer 1

（1）把可分得的边长为整数的长方形按面积从小到大排列，
由1×1，1×2，1×3，1×4，2×2，1×5，2×3，2×4，3×3，2×5，3×4，3×5，若能分成5张满足条件的纸片，
因为其面积之和为15，所以满足条件的有1×1，1×2，1×3，1×4，1×5（如图①）
或1×1，1×2，1×3，2×2，1×5（如图②）；
①②
（2）若能分成6张满足条件的纸片，则其面积之和仍应为15，但上面排在前列的6个长方形的面积之和为1×1+1×2+1×3+1×4+2×2+1×5=19＞15，所以分成6张满足条件的纸片是不可能的．