Question

某地区森林原有木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年

某地区森林原有木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材的存量．（1）求an的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于79a，如果b＝19a72，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg2=0.3）

Answer 1

（1）设第一年的森林的木材存量为a₁，
第n年后的森林的木材存量为a_n，
则a1＝a(1+

1

4

)?b＝

5

4

a?b，a2＝

5

4

a1?b＝(

5

4

)2a?(

5

4

+1)b，a3＝

5

4

a2?b＝(

5

4

)3a?[(

5

4

)2+

5

4

+1]b，
所以an＝(

5

4

)na?[(

5

4

)n?1+(

5

4

)n?2+…+1]＝(

5

4

)na?4[(

5

4

)n?1]b(n∈N*)．
（2）当b＝

19

72

a时，有an＜

7

9

a得(

5

4

)na?4[(

5

4

)n?1]×

19

72

a＜

7

9

a即(

5

4

)n＞5，
所以，n＞

lg5

lg5?2lg2

＝

1?lg2

1?3lg2

≈7.2．
答：经过8年后该地区就开始水土流失．