Question

如图，直线y＝23x+b与x轴相交于点A（-3，0），与y轴相交于点B，C是x轴上的一个定点，其坐标为（3，0）．

如图，直线y＝23x+b与x轴相交于点A（-3，0），与y轴相交于点B，C是x轴上的一个定点，其坐标为（3，0）．若M为线段AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接MB，以点M为端点作射线MN交AB于点N，使∠BMN=∠BAC．（1）求证：△MBC∽△NMA；（2）是否存在点M使△MBN为直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵A（-3，0），点C的坐标为（3，0）．
∴OA=OC
∴OB⊥AC
∴AB=BC
∴∠BAC=∠BCA
∵∠BMN=∠BAC
∴∠BMN=∠BCA
∵AMN=∠CBM=∠BCA
∴∠AMN=∠BMA
∴△MBC∽△NMA；

（2）存在．
理由：Ⅰ、当∠NBM=90°时，
∴△AOB∽△ABM，
∴

AM

AB

＝

AB

AO

∵直线y＝

2

3

x+b与x轴相交于点A（-3，0）．
∴b=2，OA=3
∴OB=2
∴AB=

13

∴

AM

13

＝

13

3

∴AM=

13

3

∴OM=AM-OA=

4

3

∴点M的坐标为（

4

3

，0）；
Ⅱ、当∠EBM=90°时，
∵∠BMN=∠BAC．
∴∠MBN=∠ABC，
∴此时点M与点O重合，即点M的坐标为（0，0）；
综上所述：存在点M（

4

3

，0）或（0，0）使△MBN为直角三角形；