已知函数f（x）=eax-x，其中a≠0，函数f（x）的导函数是f′（x）．（I）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，
已知函数f（x）=eax-x，其中a≠0，函数f（x）的导函数是f′（x）．（I）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a，使函数g（x）...
已知函数f（x）=eax-x，其中a≠0，函数f（x）的导函数是f′（x）．（I）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a，使函数g（x）=|ln[f′(x)+1]?lna?a2ln[f′(x)+1]?lna+2a2|在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由？
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（I）若a＜0则对一切x＞0，f（x）=eax-x＜1这与题设矛盾；
又a≠0，故a＞0，
f′（x）=aeax-1，f′（x）=0?x=
ln
，
当x＜
ln
，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞
ln
，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
故当x=
ln
时，f（x）min=f（
ln
）=
?
ln
，
对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，当且仅当
?
ln
≥1①，
令g（t）=t-tlnt，g′（t）=-lnt，
当0＜t＜1时，g′（t）＞0，当t＞1时，g′（t）＜0，
∴当t=1时，g（t）max=g（1）=1，
当且仅当
=1?a=1时，（1）式成立，
∴a的取值集合是{1}．
（Ⅱ）g（x）=|
|，
当x∈（0，a），g（x）=
，g′（x）=
＜0，g（x）递减，
当x∈（a，+∞），g（x）=
，g′（x）=
＞0，g（x）递增，
若a＞4，g（x）在（0，4）上递减，故不满足要求；
当a＜4，g（x）在（0，a）上递减，在（a，4）上递增，
若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=g（x）在（x1，g（x1），（x2，g（x2））两点处的切线互相垂直，
则x1∈（0，a），x2∈（a，4），
且g′（x1）?g（′（x2）=-1?
?
=-1?x1+2a＝
①，
由x1∈（0，a）?x1+2a∈（2a，3a），x2∈（a，4）?
又a≠0，故a＞0，
f′（x）=aeax-1，f′（x）=0?x=
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
当x＜
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
故当x=
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，当且仅当
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
令g（t）=t-tlnt，g′（t）=-lnt，
当0＜t＜1时，g′（t）＞0，当t＞1时，g′（t）＜0，
∴当t=1时，g（t）max=g（1）=1，
当且仅当
| 1 |
| a |
∴a的取值集合是{1}．
（Ⅱ）g（x）=|
| x?a |
| x+2a |
当x∈（0，a），g（x）=
| ?x+a |
| x+2a |
| ?3a |
| (x+2a)2 |
当x∈（a，+∞），g（x）=
| x?a |
| x+2a |
| 3a |
| (x+2a)2 |
若a＞4，g（x）在（0，4）上递减，故不满足要求；
当a＜4，g（x）在（0，a）上递减，在（a，4）上递增，
若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=g（x）在（x1，g（x1），（x2，g（x2））两点处的切线互相垂直，
则x1∈（0，a），x2∈（a，4），
且g′（x1）?g（′（x2）=-1?
| ?3a |
| (x1+2a)2 |
| 3a |
| (x2+2a)2 |
| 3a |
| x2+2a |
由x1∈（0，a）?x1+2a∈（2a，3a），x2∈（a，4）?
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