Question

△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosC=2b-c．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）如果a=1，求b+c的取

△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosC=2b-c．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）如果a=1，求b+c的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）2acosC=2b-c，由正弦定理可得：sinAcosC+

1

2

sinC=sinB，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC．∴

1

2

sinC=cosAsinC，∵sinC≠0，
∴cosA=

1

2

，
角A的大小为：

π

3

；
（Ⅱ）由正弦定理可得：b=

asinB

sinA

＝

2sinB

3

，c＝

2

3

sinC，
∴b+c=

2

3

(sinB+sinC)=

2

3

[sinB+sin(A+B)]=2(

3

2

sinB+

1

2

cosB)＝2sin(B+

π

6

)，
∵A＝

π

3

∴B∈(0，

2π

3

)，
∴B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
∴sin(B+

π

6

)∈(

1

2

，1]，
∴b+c的取值范围：（1，2]．