Question

如图，直线y=-x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P（a，b）为双曲线y＝12x上的一点，射线PM⊥x轴于点M，

如图，直线y=-x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P（a，b）为双曲线y＝12x上的一点，射线PM⊥x轴于点M，交直线AB于点E，射线PN⊥y轴于点N，交直线AB于点F．（1）直接写出点E与点F的坐标（用含a、b的代数式表示）；（2）当x＞0，且直线AB与线段PN、线段PM都有交点时，设经过E、P、F三点的圆与线段OE相交于点T，连结FT，求证：以点F为圆心，以FT的长为半径的⊙F与OE相切；（3）①当点P在双曲线第一象限的图象上移动时，求∠EOF的度数；②当点P在双曲线第三象限的图象上移动时，请直接写出∠EOF的度数．

Answer 1

（1）E（a，1-a），F（1-b，b）．

（2）∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴四边形NOMP是矩形，
∴∠P=90°，
∴EF是⊙Q的直径．（不妨设经过E、P、F三点的圆为⊙Q），
∴∠FTE=90°，
∴FT⊥OE，
又∵OE经过半径FT的外端T，
∴OE是⊙F的切线．

（3）①由直线y=-x+1可求得：B（0，1），A（1，0），即△ABO是等腰直角三角形，如图所示，
由（1）得：E（a，1-a），F（1-b，b），
则PF=PN-FN=a-（1-b）=a+b-1，PE=PM-EM=b-（1-a）=a+b-1，
在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF＝

(a+b?1)2+(a+b?1)2

＝

2

(a+b?1)，
同理可得：OE＝

a2+(1?a)2

＝

2a2?2a+1

，BE＝

a2+[1?(1?a)]2

＝

2

a，
∴OE²=2a²-2a+1，EF?BE＝

2

(a+b?1)?

2

a＝2a2+2ab?2a，
∵P（a，b）在反比例函数图象上，
∴b＝

1

2a

，即2ab=1，
∴EF?BE＝

2

(a+b?1)?

2

a＝2a2+1?2a，
∴EF?BE=OE²，即

OE

EF

＝

BE

OE

，
又∵∠OEF=∠BEO，
∴△OEF∽△BEO．
∴∠EOF=∠ABO=45°，
综上可得：∠EOF的度数是45°．
②如图所示：根据①的证明过程可得：△OE'F'∽△BE'O，
故可得∠E'OF'=∠E'BO=180°-∠ABO=135°，
故当点P在双曲线第三象限的图象上移动时∠EOF的度数是135°．