Question

如图，正△ABC中，点M、N分别在AB、AC上，且AN=BM，BN与CM相交于点O，若S△ABC=7，S△OBC=2，则BMBA=13或

如图，正△ABC中，点M、N分别在AB、AC上，且AN=BM，BN与CM相交于点O，若S△ABC=7，S△OBC=2，则BMBA=13或2313或23．

Answer 1

解答：解：连接AO，设S_△AOM=m，BM：MA=a：1（a＞0）．
∵AN=BM，AB=AC，
∴AN：CN=a；
在△BAN和△CBM中：
∵△ABC为正三角形，
∴AB=BC，∠BAN=∠CBM=60°，
又∵BM=AN，
∴△BAN≌△CBM（SAS），
∴S_△BAN=S_△CBM，
∴S_△BAN-S_△BOM=S_△CBM-S_△BOM，
∴S_{四边形AMON}=S_△BOC；
又∵S_△OBC=2，
∴S_{四边形AMON}=2；
∴S_△AON=S_{四边形AMON}-S_△AOM=2-m…①
而S_△ABC=7，
∴S_△BOM+S_△CON=S_△ABC-S_△BOC-S_{四边形AMON}=3；
∵△AOM和△BOM的高相等（都是点O到AB得距离），
∴S_△BOM：S_△AOM=BM：AM=a，
∴S_△BOM=am…②
∴S_△CON=3-S_△BOM=3-am，
同理，S_△AON：S_△CON=AN：CN=a，
∴（2-m）：（3-am）=a，即2-m=3a-a²m…③
同理，S_△ACM：S_△BCM=AM：BM=1：a，
∴[m+（2-m）+（3-am）]：（am+2）=1：a，即（5-am）：（am+2）=1：a，
∴am+2=5a-a²m…④
④-③得，（a+1）m=2a
∴m=

2a

a+1

；
将m值代入③式，得
2-

2a

a+1

=3a-a²?

2a

a+1

，即（a+1）（2a-1）（a-2）=0，
∴a=

1

2

，或者a=2；
当a=

1

2

时，

BM

BA

＝

1

3

；
当a=2时，

BM

BA

＝

2

3

；
故答案为：

1

3

或

2

3

．