Question

已知函数f(x)=x²+1/x²+a(x+1/x)+b (x∈R,且x≠0)，

已知函数f(x)=x²+1/x²+a(x+1/x)+b (x∈R,且x≠0)，若实数a,b使得函数y=f(x)在定义域上有零点，则a²+b²的最小值为

Answer 1

记t=x+1/x, 则有|t|>=2
f(x)=t²-2+at+b=g(t)
f(x)有零点，则g(t)有绝对值大于等于2的零点
首先满足判别式>=0, 即a²-4(b-2)>=0, 得：a²>=4b-8
a²+b²>=b²+4b-8=(b+2)²-12, 讨论根x1,x2的情况：
1）若x1,x2都>=2, 或都<=-2, 则两根积有b-2>=4,得：b>=6, a²+b²最小值为当b=6，a²=16时取得，为52.
2）若x1>=2, x2<=-2, 则此时有g(2)<=0, g(-2)<=0, 即, 2+2a+b<=0, 且2-2a+b<=0,这是由两条直线为边界的一个区域， a²+b²可看成是原点到区域的距离之平方，作图可知最小值为原点到区域顶点的直线的距离，此时a=0，b=-2, a²+b²的最小值为4
3）若x1>=2, -2=<x2<2, 则g(2)<=0, g(-2)>=0, 即2+2a+b<=0且2-2a+b>=0,这是由两条直线为边界的另一个区域， a²+b²可看成是原点到区域的距离之平方，作图可知最小值为原点到2+2a+b=0直线的距离，此时a=-2/3，b=-2/3, a²+b²的最小值为8/9
4) 若x1<=-2, -2<x2<=2, 则g(2)>=0, g(-2)<=0, 即2+2a+b>=0且2-2a+b<=0,这是由两条直线为边界的另一个区域， a²+b²可看成是原点到区域的距离之平方，作图可知最小值为原点到2-2a+b=0直线的距离，此时a=2/3，b=-2/3, a²+b²的最小值为8/9
综合得：a²+b²的最小值为8/9

Answer 2

令t=x+1/x，则|t|≥2，且x²+1/x²=t²-2，
于是，实数a，b使得函数y=f(x)在定义域上有零点，等价于：
实数a，b使得函数y=g(t)=t²-2+at+b在定义域{t| t≤ -2，或t≥2}上有零点，
结合图形，这又等价于g(-2)=2-2a+b≤0且g(2)=2+2a+b≤0，
在直角坐标系aOb中，此不等式组表示的平面区域为两相交直线2-2a+b=0和2+2a+b=0下方的角形区域，含边界，其最高点P(0，-2)，
而a²+b²的几何意义是上述区域内的点到原点O的距离的平方，最小值为|OP|²=4。

追问

"结合图形，这又等价于g(-2)=2-2a+b≤0且g(2)=2+2a+b≤0" 我在这儿有点疑惑。 g(t)只要有一个零点不就行了吗？为什么在t=-2和t=2上都要满足g(t)≤0 ？

追答

哦，不好意思，弄错了一点！应该是等价于g(-2)=2-2a+b≤0或g(2)=2+2a+b≤0，
在直角坐标系aOb中，此不等式列表示的平面区域为去掉两相交直线2-2a+b=0和2+2a+b=0上方的角形区域剩下的部分(含边界)，
而a²+b²的几何意义是上述区域内的点到原点O的距离的平方，
由图知，a²+b²的最小值为原点O到直线2-2a+b=0或2+2a+b=0的距离d的平方，d²=4/5。