有图题:将二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x1x3+4x2x3化为标准形,并写出相应的可逆线性变换
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【解答】
f(x1,x2,x3)=(x1²+2x1x2+2x1x3)+(2x2²+4x2x3)+x3²
=(x1+x2+x3)²+(x2+x3)² -x3²
令y1=x1+x2+x3
y2=x2+x3
y3=x3
将二次型f(x1,x2,x3)化为 f(y1,y2,y3)=y1²+y2²-y3²
x1=y1-y2
x2=y2-y3
x3=y3
可逆线性变换 x=Cy
矩阵C为
1 -1 0
0 1 -1
0 0 1
二次型历史:
二次型的系统研究是从18世纪开始的,它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论,将二次曲线和二次曲面的方程变形,选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状,这个问题是在18世纪引进的。
柯西在其著作中给出结论:当方程是标准型时,二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而,那时并不太清楚,在化简成标准型时,为何总是得到同样数目的正项和负项。
西尔维斯特回答了这个问题,他给出了n个变数的二次型的惯性定律,但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801年,高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。
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【解答】
(配方法)
f(x1,x2,x3)=(x1²+2x1x2+2x1x3)+(2x2²+4x2x3)+x3²
=(x1+x2+x3)²+(x2+x3)² -x3²
令y1=x1+x2+x3
y2=x2+x3
y3=x3
将二次型f(x1,x2,x3)化为 f(y1,y2,y3)=y1²+y2²-y3²
x1=y1-y2
x2=y2-y3
x3=y3
可逆线性变换 x=Cy
矩阵C为
1 -1 0
0 1 -1
0 0 1
newmanhero 2015年3月14日23:36:35
希望对你有所帮助,望采纳。
(配方法)
f(x1,x2,x3)=(x1²+2x1x2+2x1x3)+(2x2²+4x2x3)+x3²
=(x1+x2+x3)²+(x2+x3)² -x3²
令y1=x1+x2+x3
y2=x2+x3
y3=x3
将二次型f(x1,x2,x3)化为 f(y1,y2,y3)=y1²+y2²-y3²
x1=y1-y2
x2=y2-y3
x3=y3
可逆线性变换 x=Cy
矩阵C为
1 -1 0
0 1 -1
0 0 1
newmanhero 2015年3月14日23:36:35
希望对你有所帮助,望采纳。
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