Question

已知f(x)＝x²－2ax＋2(x∈R)，当 x∈［－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成⽴，求a的取值范围

Answer 1

解法一：f≥（x）=（x-a）^2+2-a^2，此二次函数图象的对称轴为x=a．
①当a∈（-∞，-1）时，f（x）在[-1，+∞）上单调递增，f（x）min=f（-1）=2a+3．
要使f（x）≥a恒成立，只需2a+3≥a，解得-3≤a＜-1．
②当a∈[-1，+∞）时，f（x）min=f（a）=2-a^2，
要使f（x）≥a恒成立，只需2-a^2≥a，解得-1≤a≤1．
综上所述，a的取值范围为-3≤a＜-1或-1≤a≤1，
即a的取值范围为[-3，1]．

解法二：令g（x）=x^2-2ax+2-a，由已知，得x^2-2ax+2-a≥0在[-1，+∞）上恒成立，
则①△=4a^2-4（2-a）≤0，解得-2≤a≤1，
或②
△＞0
a＜−1
g(−1)≥0
解得-3≤a≤1．
综上所述，a的取值范围为-2≤a≤1或-3≤a≤1，
即a的取值范围为[-3，1]