Question

数学题有关函数的

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0),当x=-1时f(x)取得极值5,且f(1)=-11.(1)求f(x)的单调区间和极值

Answer 1

因为当x=-1时，f（x）取极值。则在x=-1处，f′（x）=0
f′（x）=3ax²+2bx+c，代入f′（-1）＝3a-2b+c=0……（1）
代入f（1）=a+b+c=-11……（2）
f（-1）=-a+b-c=5……（3）
解（1）（2）（3）得：
a=1 b=－3 c=－9
这样f（x）=x³-3x²-9x
f′（x）=3x²-6x-9
在f（x）取极值的地方，f′（x）=0，即3x²-6x-9=0
解得：x1=－1或x2=3
代入f（3）=27-3*9-27=－27
∵当x＜-1时，f′（x）大于0，故f（x）在（－∞，－1）递增（可在这个区间内任意代入一个数字得到）
当-1＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（-1,3）递减
当x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（3，＋∞）递增
这样，∵x=-1处于一个先递增后递减区间，故x=-1处，f（x）取极大值，f（-1）=5
x=3处于一个先递减后递增区间，故x=3处，f（x）取极小值，f（3）=－27
f（x）的单调递减区间为：（-1,3）
f（x）的单调递增区间为：（－∞，－1）∪（3，＋∞）

Answer 2

f(x)=ax3+bx2+cx
f'(x)=3ax2+2bx+c

当x=-1时f(x)取得极值5,说明f(-1)=5且f'(-1)=0
即：
-a+b-c=5
3a-2b+c=0
a+b+c=-11

==>a=1 b=-3 c=-9
f(x)=x3-3x2-9x
f'(x)=3x2-6x-9
令f'(x)=0，得x=-1或x=3
f(3)=27-27-27=-27
故f(x)单调递增区间为[负无穷，-1]和[3,正无穷],单调递减区间为[-1,3]
极大值为-11，极小值为-27