大学数学 线性代数难题 求三四题的做法 要过程 10
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第三题，选D
首先，判断矩阵正定，则需要知道其所有顺序主子式
若所有顺序主子式大于0，则为正定矩阵，
而在此题中|A|= -a^2-b^2 = -1<0（即其二阶顺序主子式小于0）
说明不是正定矩阵
对于负定矩阵，其奇数阶的顺序主子式为负，偶数阶的顺序主子式为正
所以，很明显，矩阵A不是负定矩阵
对于初等矩阵，是单位矩阵经过一次基本初等变换后得到的，很明显，单位矩阵不可能经过一次基本初等变换得到矩阵A
对于正交矩阵，其每一列都是正交向量
你看，第一列（a，b），第二列（b，-a）这两个向量取内积得零，说明这两个向量正交
所以这个矩阵是正交矩阵
第四题
首先，我所学的性质都是老师告诉我的（我不是数学系的所以可能学的不深），有一些并没有证明
我告诉你这些性质，如果您要证明，可以上网搜一下。
特征值可以相等；特征值可以为0；特征值的乘积是矩阵的行列式的值；特征值的和等于矩阵的迹（矩阵的迹就是矩阵对角线上元素的和）
首先，判断矩阵正定，则需要知道其所有顺序主子式
若所有顺序主子式大于0，则为正定矩阵，
而在此题中|A|= -a^2-b^2 = -1<0（即其二阶顺序主子式小于0）
说明不是正定矩阵
对于负定矩阵，其奇数阶的顺序主子式为负，偶数阶的顺序主子式为正
所以，很明显，矩阵A不是负定矩阵
对于初等矩阵，是单位矩阵经过一次基本初等变换后得到的，很明显，单位矩阵不可能经过一次基本初等变换得到矩阵A
对于正交矩阵，其每一列都是正交向量
你看，第一列（a，b），第二列（b，-a）这两个向量取内积得零，说明这两个向量正交
所以这个矩阵是正交矩阵
第四题
首先，我所学的性质都是老师告诉我的（我不是数学系的所以可能学的不深），有一些并没有证明
我告诉你这些性质，如果您要证明，可以上网搜一下。
特征值可以相等；特征值可以为0；特征值的乘积是矩阵的行列式的值；特征值的和等于矩阵的迹（矩阵的迹就是矩阵对角线上元素的和）
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