Question

高中数学数列两问证明问题

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Answer 1

a(n+1) = a(n)b(n+1),
b(n+1) = b(n)/[1 - [a(n)]^2], |a(n)|不为1.

题目有问题哈。。
b(1) = q<0, 所以，无法保证b(n)>0...

假设需要证明的是，n>=2时a(n)>0, b(n)>0.且 a(n)+b(n) = 1.
a(n+1) + b(n+1) = a(n)b(n+1) + b(n+1) = [a(n)+1]b(n+1) = [a(n)+1]b(n)/[1-[a(n)]^2]
= b(n)/[1-a(n)],

n=1时，a(1)+b(1) = p + q = 1,成立，
a(2) + b(2) = b(1)/[1-a(1)] = q/(1-p) = 1,成立。

假设n=k>2时，有，a(n) + b(n) = 1成立。
则，n=k+1时，
a(k+1) + b(k+1) = b(k)/[1 - a(k)] = b(k)/b(k) = 1成立。
因此，由归纳法知，n>=2时，总有a(n)+b(n) = 1成立。

b(2) = b(1)/[1-[a(1)]^2] = q/[1-p^2] = (1-p)/(1-p^2) = 1/(1+p) >0,
a(2) = a(1)b(2) = p/(1+p) > 0.

假设n=k>2时，有a(n)>0, b(n)>0成立，[注意到，a(k)+b(k)=1]
则，n=k+1时，b(k+1) = b(k)/[1 - [a(k)]^2] = [1-a(k)]/[1-[a(k)]^2] = 1/[1+a(k)] >0,
a(k+1) = a(k)b(k+1) > 0.
因此，由归纳法知，n>=2时，总有a(n)>0, b(n)>0成立。

(2)
b(n+1) = b(n)/[1 - [a(n)]^2] = [1-a(n)]/[1-[a(n)]^2] = 1/[1 + a(n)],
a(n+1) = a(n)b(n+1) = a(n)/[1 + a(n)].

Answer 2

a(n+1) = a(n)b(n+1),
b(n+1) = b(n)/[1 - [a(n)]^2], |a(n)|不为1.

题目有问题哈。。
b(1) = q<0, 所以，无法保证b(n)>0...

假设需要证明的是，n>=2时a(n)>0, b(n)>0.且 a(n)+b(n) = 1.
a(n+1) + b(n+1) = a(n)b(n+1) + b(n+1) = [a(n)+1]b(n+1) = [a(n)+1]b(n)/[1-[a(n)]^2]
= b(n)/[1-a(n)],

n=1时，a(1)+b(1) = p + q = 1,成立，
a(2) + b(2) = b(1)/[1-a(1)] = q/(1-p) = 1,成立。

假设n=k>2时，有，a(n) + b(n) = 1成立。
则，n=k+1时，
a(k+1) + b(k+1) = b(k)/[1 - a(k)] = b(k)/b(k) = 1成立。
因此，由归纳法知，n>=2时，总有a(n)+b(n) = 1成立。

b(2) = b(1)/[1-[a(1)]^2] = q/[1-p^2] = (1-p)/(1-p^2) = 1/(1+p) >0,
a(2) = a(1)b(2) = p/(1+p) > 0.

假设n=k>2时，有a(n)>0, b(n)>0成立，[注意到，a(k)+b(k)=1]
则，n=k+1时，b(k+1) = b(k)/[1 - [a(k)]^2] = [1-a(k)]/[1-[a(k)]^2] = 1/[1+a(k)] >0,
a(k+1) = a(k)b(k+1) > 0.
因此，由归纳法知，n>=2时，总有a(n)>0, b(n)>0成立。

(2)
b(n+1) = b(n)/[1 - [a(n)]^2] = [1-a(n)]/[1-[a(n)]^2] = 1/[1 + a(n)],
a(n+1) = a(n)b(n+1) = a(n)/[1 + a(n)].

追问

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追答

多谢楼主封赏。。楼主威武。。

Answer 3

数列证明问题