Question

（本题满分8分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ， AB 为⊙ O 的直径， C 为 BD 弧的中点， AC 、 BD 交于

（本题满分8分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ， AB 为⊙ O 的直径， C 为 BD 弧的中点， AC 、 BD 交于点 E ．（1）求证：△ CBE ∽△ CAB ；（2）若 S △ CBE ∶ S △ CAB ＝1∶4，求sin∠ ABD 的值．

Answer 1

（1）证明：∵点 C 为弧 BD 的中点，∴∠ DBC ＝∠ BAC ， 在△ CBE 与△ CAB 中； ∠ DBC ＝∠ BAC ，∠ BCE ＝∠ ACB ， ∴△ CBE ∽△ CAB ．         ……4分 （2）解：连接 OC 交 BD 于 F 点，则 OC 垂直平分 BD ∵S △CBE ：S △CAB ＝1:4，△ CBE ∽△ CAB ∴ AC ： BC ＝ BC ： EC ＝2:1，∴ AC ＝4 EC ∴ AE ： EC ＝3：1 ∵ AB 为⊙ O 的直径，∴∠ ADB ＝90° ∴ AD ∥ OC ，则 AD ： FC ＝ AE ： EC ＝3:1 设 FC ＝ a ，则 AD ＝3 a ，    ∵ F 为 BD 的中点， O 为 AB 的中点， ∴ OF 是△ ABD 的中位线，则 OF ＝ AD ＝1.5 a ，  ∴ OC ＝ OF + FC ＝1.5 a + a ＝2.5a，则 AB ＝2 OC ＝5 a ， 在Rt△ ABD 中，sin∠ ABD ＝ ＝    …………………………8分 （本题方法众多，方法不唯一，请酌情给分）

略