Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE ∥ 平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求二面角A-PB-E的大小．

Answer 1

（Ⅰ）∵D、E分别为AB、AC中点， ∴DE ∥ BC． ∵DE?平面PBC，BC?平面PBC， ∴DE ∥ 平面PBC．…（4分） （Ⅱ）连接PD， ∵PA=PB，D为AB中点， ∴PD⊥AB．…．（5分） ∵DE ∥ BC，BC⊥AB， ∴DE⊥AB…（6分） 又∵PD∩DE=D，PD，DE?平面PDE ∴AB⊥平面PDE…（8分） ∵PE?平面PDE， ∴AB⊥PE…（9分） （Ⅲ）∵AB⊥平面PDE，DE⊥AB…（10分） 如图，以D为原点建立空间直角坐标系，由PA=PB=AB=2，BC=3， 则B（1，0，0），P（0，0， 3 ），E（0， 3 2 ，0）， ∴ PB =（1，0， - 3 ）， PE =（0， 3 2 ， - 3 ）． 设平面PBE的法向量 n 1 =(x，y，z) ， ∴ x- 3 z=0 3 2 y- 3 z=0 令 z= 3 得 n 1 =(3，2， 3 ) …（11分） ∵DE⊥平面PAB， ∴平面PAB的法向量为 n 2 =(0，1，0) ．…（12分） 设二面角的A-PB-E大小为θ， 由图知， cosθ=cos＜ n 1 ， n 2 ＞= | n 1 ? n 2 | | n 1 |?| n 2 | = 1 2 ， 所以θ=60°， 即二面角的A-PB-E大小为60°…（14分）