已知a∈R，函数f（x）=x3-3x2+3ax-3a+3．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当x
已知a∈R，函数f（x）=x3-3x2+3ax-3a+3．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当x∈[0，2]时，求曲线y=f（x）的单调区间...
已知a∈R，函数f（x）=x3-3x2+3ax-3a+3．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当x∈[0，2]时，求曲线y=f（x）的单调区间；（Ⅲ）若a＜23，求|f（x）|在x∈[0，2]上的最大值．
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（Ⅰ）因为f（x）=x3-3x2+3ax-3a+3，所以f′（x）=3x2-6x+3a，
故f′（1）=3a-3，又f（1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a-3）x-3a+4；
（Ⅱ）由于f′（x）=3（x-1）2+3（a-1），0≤x≤2．
故当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在[0，2]上单调递减；
当a≥1时，有f′（x）≥0，此时f（x）在[0，2]上单调递增；
当0＜a＜1时，由3（x-1）2+3（a-1）=0，得x1=1-
，x2=1+
．
所以，当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x2，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
（Ⅲ）当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在[0，2]上单调递减，故
|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3-3a．
当0＜a＜
时，由3（x-1）2+3（a-1）=0，得x1=1-
，x2=1+
．
所以，当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x2，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
所以函数f（x）的极大值f（x1）=1+2（1-a）
，极小值f（x2）=1-2（1-a）
，
故f（x1）+f（x2）=2＞0，f（x1）-f（x2）＞0．
从而f（x1）＞|f（x2）|．
所以|f（x）|max=max{f（0），|f（2）|，f（x1）}．
当0＜a＜
时，f（x1）＞f（0）＞|f（2）|．
故|f（x）|max=f（x1）=1+2（1-a）
故f′（1）=3a-3，又f（1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a-3）x-3a+4；
（Ⅱ）由于f′（x）=3（x-1）2+3（a-1），0≤x≤2．
故当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在[0，2]上单调递减；
当a≥1时，有f′（x）≥0，此时f（x）在[0，2]上单调递增；
当0＜a＜1时，由3（x-1）2+3（a-1）=0，得x1=1-
| 1?a |
| 1?a |
所以，当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x2，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
（Ⅲ）当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在[0，2]上单调递减，故
|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3-3a．
当0＜a＜
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| 1?a |
| 1?a |
所以，当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x2，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
所以函数f（x）的极大值f（x1）=1+2（1-a）
| 1?a |
| 1?a |
故f（x1）+f（x2）=2＞0，f（x1）-f（x2）＞0．
从而f（x1）＞|f（x2）|．
所以|f（x）|max=max{f（0），|f（2）|，f（x1）}．
当0＜a＜
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故|f（x）|max=f（x1）=1+2（1-a）
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