Question

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列{cn}的第二项、第

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列{cn}的第二项、第三项、第四项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝1n(an+3)，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn；（3）对于（2）中的Sn是否存在实数t，使得对任意的n∈N*均有：8Sn≤t（an+17）成立？若存在，求出t的范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设该数列的公差为d，
由其第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列{c_n}的第二项、第三项、第四项，
可得1+d，1+4d，1+13d成等比数列，所以（1+4d）²=（1+d）?（1+13d）
解之得：d=2，
则a_n=2n-1；
（2）bn＝

1

n(an+3)

=

1

n(2n+2)

=

1

2

×

1

n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）；
S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

2

（1-

1

n+1

）；
则Sn＝

1

2

(1?

1

n+1

)；
（3）由题意得：任意的n∈N^*，4(1?

1

n+1

)≤t(2n+16)恒成立，
即：t≥

2n

(n+1)(n+8)

恒成立，
可求得：当n=3时，

2n

(n+1)(n+8)

取得最大值

3

22

，则t≥

3

22

．