Question

如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，DF⊥AB，交AC于E，交BC的延长线于点F．（1）求证：∠A=∠F；（2

如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，DF⊥AB，交AC于E，交BC的延长线于点F．（1）求证：∠A=∠F；（2）△CDE与△FDC是否相似？并给予证明．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，
∵DF⊥AB，∴∠BDF=90°，
即∠B+∠F=90°，
∴∠A=∠F；

（2）解：△CDE∽△FDC．
理由是：∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=CD，
∴∠A=∠DCE，
∵∠DEC=∠A+∠ADE，∠DCF=∠DCE+∠ECF，
∴∠CED=∠FCD，
∴△CDE∽△FDC．