Question

求曲线 y=x2-2x，y=0，x=1，x=3所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V

求曲线 y=x2-2x，y=0，x=1，x=3所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．

Answer 1

本题所求平面图形如下图：

则平面图形的面积
S＝

∫

2 1

(0?y)dx+

∫

3 2

(y?0)dx=

∫

2 1

(2x?x2)dx+

∫

3 2

(x2?2x)dx=[x2?

1

3

x3

]

2 1

+[

1

3

x3?x2

]

3 2

=[(4?

8

3

)?(1?

1

3

)]+[(9?9)?(

8

3

?4)]
=2
该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积
V＝

∫

2 1

2πx(2x?x2)dx+

∫

3 2

2πx(x2?2x)dx
=2π

∫

2 1

(2x2?x3)dx+2π

∫

3 2

(x3?2x2)dx
=2π[

2

3

x3?

1

4

x4

]

2 1

+2π[

1

4

x4?

2

3

x3

]

3 2

=2π[(

16

3

?4)?(

2

3

?

1

4

)]+2π[(

81

4

?18)?(4?

16

3

)]
=9π．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示