设函数f（x）=x|x-1|+m，g（x）=lnx．（1）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值；（2）记函数p（
设函数f（x）=x|x-1|+m，g（x）=lnx．（1）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值；（2）记函数p（x）=f（x）-g（x），若函数p（x）有...
设函数f（x）=x|x-1|+m，g（x）=lnx．（1）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值；（2）记函数p（x）=f（x）-g（x），若函数p（x）有零点，求m的取值范围．
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（1）当x∈[0，1]时，f（x）=x（1-x）+m=?x2+x+m＝?(x?
)2+m+
∴当x＝
时，f(x)max＝m+
当x∈（1，m]时，f（x）=x（x-1）+m=x2?x+m＝(x?
)2+m?
∵函数y=f（x）在（1，m]上单调递增，∴f（x）max=f（m）=m2
由m2≥m+
得：m2?m?
≥0又m＞1?m≥
．
∴当m≥
时，f（x）max=m2；
当1＜m＜
时，f(x)max＝m+
．
（2）函数p（x）有零点即方程f（x）-g（x）=x|x-1|-lnx+m=0有解，
即m=lnx-x|x-1|有解
令h（x）=lnx-x|x-1|，当x∈（0，1]时，h（x）=x2-x+lnx
∵h′(x)＝2x+
?1≥2
?1＞0
∴函数h（x）在（0，1]上是增函数，∴h（x）≤h（1）=0
当x∈（1，+∞）时，h（x）=-x2+x+lnx．
∵h′(x)＝?2x+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∴当x＝
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
当x∈（1，m]时，f（x）=x（x-1）+m=x2?x+m＝(x?
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∵函数y=f（x）在（1，m]上单调递增，∴f（x）max=f（m）=m2
由m2≥m+
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
1+
| ||
| 2 |
∴当m≥
1+
| ||
| 2 |
当1＜m＜
1+
| ||
| 2 |
| 1 |
| 4 |
（2）函数p（x）有零点即方程f（x）-g（x）=x|x-1|-lnx+m=0有解，
即m=lnx-x|x-1|有解
令h（x）=lnx-x|x-1|，当x∈（0，1]时，h（x）=x2-x+lnx
∵h′(x)＝2x+
| 1 |
| x |
| 2 |
∴函数h（x）在（0，1]上是增函数，∴h（x）≤h（1）=0
当x∈（1，+∞）时，h（x）=-x2+x+lnx．
∵h′(x)＝?2x+
