Question

如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（2，-9）．（1）求此函数

如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（2，-9）．（1）求此函数的关系式；（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，F为抛物线上的一个动点，记△PEF的面积为S，问S取何值时，相应的F点有且只有3个．

Answer 1

（1）∵二次函数y=x²+bx+c的顶点为（2，-9），
∴二次函数的解析式：y=（x-2）²-9=x²-4x-5．

（2）∵C、D关于x轴对称，
∴AD=AC、BC=BD，且CD∥y轴；
由抛物线的对称性知，点A、B关于直线CD对称，则：AD=BD、AC=BC；
∴AC=BC=BD=AD，即四边形ACBD是菱形；
若直线PE将四边形ACBD平分成两个面积相等的四边形，则直线PE必过AB、CD的交点G（2，0），
设直线PE的解析式为：y=kx+b（k≠0），将P（0，-5）、G（2，0）代入，得：

b＝?5 2k+b＝0

，
解得

k＝ 5 2 b＝?5

．
故直线PE：y=

5

2

x-5，联立抛物线的解析式，得：

y＝ 5 2 x?5 y＝x2?4x?5

，
解得

x1＝0 y1＝?5

，

x2＝ 13 2 y2＝ 45 4

故点E的坐标（

13

2

，

45

4

）．

（3）通过图示可以发现，
当点F在直线PE上方时，在直线PE的上方一定有两个点F；
当点F在直线PE下方时，若相应的F点有且只有3个，那么直线PE下方的点F只有一个；过点F作PE的平行线，该直线必与抛物线有且只有一个交点，此时点F到直线PE的距离最长；
以PE为底、点F到直线PE的距离为高，此时△PEF的面积最大，即S最大（情况如右图）；
设点F的坐标为（x，x²-4x-5），过点F作FH∥y轴，交直线PE于点H，则H（x，

5

2

x-5），则：
FH=（

5

2

x-5）-（x²-4x-5）=-x²+

13

2

x；
则S=

1

2

×

13

2

×（-x²+

13

2

x）=-

13

4

（x-

13

4

）²+

2197

64

；
综上，当S=

2197

64

时，相应的F点有且只有三个．