Question

（2013?韶关二模）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C

（2013?韶关二模）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交圆O于Q，若∠BTC=120°，AB=4，则PQ?PB=______．

Answer 1

由题意可得，圆的半径等于2，设PT与AB交与点M，∵∠BTC=120°，则∠COB=60°=∠BTM，∠BMT=30°．
TB=TC=OBtan30°=

2 3

3

，∴BM=

BT

tan30°

=2．
由切割线定理可得 MC²=MB?MA=2（2+4）=12，∴MC=2

3

．
∵cos∠BMT=

3

2

=

MP

MA

=

MP

AB+BM

=

MP

4+2

，∴MP=3

3

，∴PC=MP-MC=3

3

-2

3

=

3

，
由切割线定理可得 PQ?PB=PC²=3，故答案为 3．