Question

初中数学几何，关于全等三角形

如图，已知△ABC是边长为9的等边三角形，△BDC是等腰三角形且角BDC=120° 。以D为顶点做一个60°角，使其两边交AB于M，交AC于N，联接MN，求三角形AMN周长。

Answer 1

三角形AMN周长为18.
做法如下:∵△ABC是边长为9的等边三角形,∴AB=AC=9
将△CDN绕点D逆时针旋转120度,得△BDE,易知∠NCD=∠MBD=60°+30°=90°,所以此时M,B,E三点共线,由旋转知△CDN≌△BDE,∴BE=CN,ED=DN,由已知可推得∠EDM=∠MDN=60°,MD=MD
∴△EDM≌△NDM(SAS),∴ME=MN,
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MB+CN+AN=AB+AC=9+9=18

Answer 2

这一类问题其实是三角形旋转的基本考查方式。

将△BMD的BD边绕着点D顺时针旋转至DC边上得△CED，可知△BMD≌△CED，
∴BM=CE
进而易证得：
△DMN≌△DEN（SAS）
∴MN=NE=NC+CE=NC+BM
∴△AMN的周长为固定值，即 AM+AN+MN = AM+AN+NC+BM = AB+AC = 18

Answer 3

将△BMD的BD边绕着点D顺时针旋转至DC边上得△CED，可知△BMD≌△CED，
∴BM=CE
进而易证得：
△DMN≌△DEN（SAS）
∴MN=NE=NC+CE=NC+BM
∴△AMN的周长为固定值，即 AM+AN+MN = AM+AN+NC+BM = AB+AC = 18