Question

高中数学2

Answer 1

郭敦顒回答：

P—ABC为三棱锥，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，BC=3，平面PAC⊥平面ABC，

E，F分别是PC，PB的中点，平面AEF⊥平面ABC的交线为L，

（1）求证：L∥BC，

在平面ABC所在的平面上作矩形AGBC，连FG，则

EF∥CB∥AG，

∵AG在平面AGBC上，又在平面AGFE上，平面AFE与平面AGFE为同一平面，

∴AG在平面ABC上，又在平面AFEH上，

∵平面AEF⊥平面ABC，∴平面AGFE⊥平面AGBC

∴AG是平面AGFE与平面AGBC的交线，

∴AG是平面AEF⊥平面ABC的交线，AG所在直线是L，

∴L∥BC。

（2）在（1）中，G在直线L上，BG∥AC，

点Q与G为同一点，求平面PAC与平面EQB的余弦值，

取PA中点K。连BE，QK，BK，则EK∥BQ，

平面EQB与平面BEK都在平面KQBE上，平面CEK在平面PAC上，

二面角B—EK—C，是平面PAC与平面EQB所成之二面角，

∵平面PAC⊥平面ABC，∴BC⊥PC，BC⊥EC，又∵AB⊥AC，

AC⊥PC，KE⊥CE，

∵AC⊥平面EBC，KE⊥平面EBC，

∴∠BEC是二面角B—EK—C的平面角，

cos∠BEC的值即为平面PAC与平面EQB的余弦值，

EC=PC/2=1，BC=3，∠BCE=90°，BE=√（1²+3²）=√10，

∴cos∠BEC=1/√10=（1/10）√10。

 

Answer 2

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