Question

数学高手请进、『二项式求和问题！』

求：Cn0+3Cn1+5Cn2+…+（2n+1）Cnn=？（注：各项均为二项式的项：n在下；0、1、2、…n在上；3、5、…(2n+1)为系数、求详解、谢谢！）

Answer 1

设：S=Cn^0＋3Cn^1＋5Cn^2＋…＋(2n＋1)Cn^n S=(2n＋1)Cn^n＋(2n－1)Cn^(n－1)＋…＋3Cn^1＋Cn^0 =(2n＋1)Cn^0＋(2n－1)Cn^1＋…＋3Cn^(n－1)＋Cn^n 两式相加，得： 2S=(2n＋2)[Cn^0＋Cn^1＋…＋Cn^n]=(2n＋2)2^n 则：S=(n＋1)2^n

Answer 2

设:S=Cn^0+3Cn^1+5Cn^2+…+(2n+1)Cn^n
S=(2n+1)Cn^n+(2n-1)Cn^(n-1)+…+3Cn^1+Cn^0
=(2n+1)Cn^0+(2n-1)Cn^1+…+3Cn^(n-1)+Cn^n
两式相加，得:
2S=(2n+2)[Cn^0+Cn^1+…+Cn^n]=(2n+2)2^n
则:S=(n+1)2^n