Question

用拉格朗日乘数法求极值:)

Answer 1

　　在数学最优化问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。

Answer 2

设F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)
其中g(x,y)=x+y-4=0为条件函数
则F(x,y)取得极值的条件为
∂F/∂x=2x+λ=0 ①
∂F/∂y=2y+λ=0 ②
∂F/∂λ=x+y-4=0 ③
联立①②③可解得
x=y=2, λ=-4
∴f(x,y)的极值为
f(2,2)=2²+2²=8

Answer 3