一道高二空间几何题
在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E为DC边的中点,沿AE将△ADE折起,使二面角D-AE-B为60度，则直线AD与面ABCD所成角的正弦值为（）...
在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E为DC边的中点,沿AE将△ADE折起,使二面角D-AE-B为60度，则直线AD与面ABCD所成角的正弦值为（ ）
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作DO垂直面ABCD，垂足为O,过O作OF垂直AE于F，连接DF、OA，
则DF垂直AE，角OFD为二面角D-AE-B的平面角，角OFD为60度，
角OAD为直线AD与面ABCD所成角，
AE=根号(AD^2+DE^2)=根号(3^2+2^2)=根号13,DF*AE=AD*DE,
DF=AD*DE/AE=3*2/根号13=6/根号13,DO/DF=sin角OFD=sin60度=(根号3)/2,
DO=DF(根号3)/2=(6/根号13)(根号3)/2=(3根号3)/根号13,
sin角OAD=DO/AD=[(3根号3)/根号13]/3=(根号3)/根号13=(根号39)/13,
则DF垂直AE，角OFD为二面角D-AE-B的平面角，角OFD为60度，
角OAD为直线AD与面ABCD所成角，
AE=根号(AD^2+DE^2)=根号(3^2+2^2)=根号13,DF*AE=AD*DE,
DF=AD*DE/AE=3*2/根号13=6/根号13,DO/DF=sin角OFD=sin60度=(根号3)/2,
DO=DF(根号3)/2=(6/根号13)(根号3)/2=(3根号3)/根号13,
sin角OAD=DO/AD=[(3根号3)/根号13]/3=(根号3)/根号13=(根号39)/13,
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2024-10-28 广告
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没DF垂直AE于F点，因三角形DFE与ADE相似，所以DF＝6/√13（根号13），所以，折起后D点与平面ABCD的距离为(√3/2)*DF=3√3/√13,记为DG，因此正弦值为DG:DA＝√3/√13
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