Question

导数及其应用，高二数学

已知函数f(x)=-x^3+ax^2+b,函数在 x=0 x=4处取得极值,且极小值为-1，求a、b的值

Answer 1

导数函数是 f'(x)= 2x² +2ax

x=0 x=4 时。导函数为0， 代入导函数。 32+ 8a=0 a=-4

代入原函数。x=0时。y=b x=4时、y=64-16+b=48+b 所以b为极小值-1

a=-4 b=-1

追问

导函数是-3x^2+2ax吧

Answer 2

解：由题意得
f'(x)=3x^2+2ax. 即当x=0和x=4是方程f'(x)=0的2个解。所以f'(4)=48+8a=0,即a=-4；
又因为极小值为-1,由f'(x)的图像得。在x>4，x<0时，f(x)单调递增。当0<x<4时，f(x)单调递减。所以在x=4处取到极小值。即f(4)=4^3-4*4^2+b=-1。所以b=-1。
a=-1;b=-1