Question

用微积分解个物理题、谢谢。

一质量为m的小球由静止下落，在运动过程中所受阻力与速度成正比，即 F阻=kv，重力加速度为g，求小球运动速度v与运动时间t的关系。O(∩_∩)O谢谢
分析尽量详细些，谢谢

Answer 1

Answer 2

V=∫adt
a1=g
a2=-F/m=-kv/m
v=∫gdt-∫（kv/m）dt
v+k/m∫vdt=gt

追问

这个我也算出来了，可还是没变为v关于t的初等函数啊？再帮忙想想，谢谢

Answer 3

(kv-mg)/m=a
v=at
带入则为v t导函数

追问

过程详细点，计算步骤，以及最后结果，，谢谢

追答

也用不到微积分啊

追问

能做出来就行。把详细过程给我吧。还有结果。

追答

上面的就是过程 再把a带入 合并与v有关同类项 就ok了

追问

可是a是变量啊，这不是变加速运动吗，为什么还能用v=at? 况且速度变化阻力就会变，加速度就会变，速度的变化率就会变，这不是一个函数值影响自变量的问题吗？为什么还可以这样做呢？

Answer 4

g=F'=(kv)'=k
v=gt=kt

追问

你这个画出v-t图像是一条斜率是k的直线啊。这怎么可能？

追答

因为F=ma 所以F'=m 同理：F'=(kv)'=k 所以m=k 由：(mg-kv)/m=a 得a=g-kv/m=g-mv/m=g-v 由v=at=(g-v)t 解得：v=gt/(1+t)

追问

F=ma，不是F′=ma′吗，可 a′不等于1啊，那为什么由F=ma得F'=m？

追答

m是常量，a是一次函数，就如y=kx，k为常量，y'=k

追问

a=g-(k/m)v，斜率为-(k/m)，因此a′=-(k/m)不等于1，不是吗？

追答

你说了用微积分，那么这里只有一个公式，只有这么解答才能运用到微积分，这个微积分运用不会错的，你把a看着x一样就可以了，如果答案不对可能是我解得错误

追问

额，好吧，我再问问别人，谢谢啦

追答

好的

Answer 5

呵呵哒，动力学的问题，困扰的我头都大了

Answer 6

v=(0→t) ∫ (mg-kv)/m dt, 可惜不知道怎么求解。 上面回答的有瑕疵，因为a是变量，不能用v=at来表示。

追问

同学还在吗？刚才我在想，若f(x)=e^x，则f(x)′=f(x)，能不能用这个把v求出来？

追答

毕业七八年啦，不记得了，不敢误人子弟啊