Question

一道数学题，急需，在线等

关于函数f（x）=4sin(2x+π/3)，有下列命题正确的是：
①由f（x1）=f（x2）=0可得x1－x2必是π的整数倍；
②y=f（x）的表达式可改写成y=4cos(2x-π/6)；
③函数y=f(x)的图像关于点(-π/6,0)对称
④函数y=f(x)的图像关于直线x=-π/6对称

请告诉我答案及解题过程！！！谢谢！！！

Answer 1

(1)
f(x) = 0，则sin(2x+π/3) = 0
即2x+π/3 = Kπ，所以2x = kπ - π/3
即x = k * π/2 - π/6
所以能够让f(x)为0的x是以π/2为周期的，即x1-x2有可能只是π/2或π/2的奇数倍。
如果命题改为必然是π/2的整数倍则正确。

(2)
正确，因为sinx = cos(π/2 - x)
所以sin(2x + π/3) = cos(π/2 - (2x+π/3)) = cos(-2x + π/6) = cos(2x-π/6)

(3)
正确。
因为f(x) = 4sin(2x+π/3) = 4sin(2*(x+π/6))
sinx是关于原点(0,0)对称的，
所以sin2x也是关于(0,0)对称，
所以sin(2*(x+π/6))关于(-π/6,0)对称，即f(x)关于(-π/6,0)对称。

(4)
错误。
根据(3)的分析，f(x)只是关于(-π/6,0)对称，并不是关于x=-π/6对称。
关于原点对称的函数是奇函数，如果关于x=0对称就是关于y轴对称，那么就是偶函数了。

Answer 2

②是对的
由于sinx=cos(π/2-x)
所以4sin(2x+π/3)=4cos[π/2-(2x+π/3)]=4cos（π/6-2x)=4cos(2x-π/6)

补写下，函数f（x）=4sin(2x+π/3)对称点是2x+π/3=0即x=-π/6，所以③也是对的。
同道理③，④也是对的
①错误的按照周期性，正弦函数图像可知sin(x+π/2)=sin(x)
则4sin(2x+π/3+π/2)=4sin(2x+5π/6)，

Answer 3

在这上面，我打不好，还是附一个图给你吧！

Answer 4

2

Answer 5

好难!