Question

请大侠们帮帮忙，解一道高中数学题

已知三角形ABC的三个内角A,B,C的对边是a,b,c。求证aA+bB+cC/a+b+c>=π/3 想了很久了·······

Answer 1

我记得这样一个等式n=a/sinA=b/sinB=c/sinC （n为常数）
可得：a=nsinA b=sinB c=sinC 带入原式可得
(AsinA+BsinB+CsinC)/(sinA+sinB+sinC)
原式≥1/3(AsinA/sinA+BsinB/sinB+CsinC/sinC)
=1/3(A+B+C)
=1/3×π
=π/3

Answer 2

由对称性不妨假设A>=B>=C, 于是a>=b>=c.
注意不等式左边为 A,B,C的加权平均, 权重正比于 (a,b,c)
大量配大权, 必大于算术平均 (A+B+C)/3

而三角形内角和A+B+C=π. 得证.

Answer 3

提供一个思路供你参考：
（1）画一个该三角形的外接圆（半径为r）；
（2）每个三角形的边长即弦长，每个内角与对应的弧长、弦长有固定的的关系；
（3）每个边长小于2r，则周长小于6r；
（4）3个内角与分别对应的弦长的积的和应该大于2πr；
（5）得出结论；
只是推想，没有证明。努力！

Answer 4

当三角形为正三角形时，等号成立。