Question

函数化简

函数f(x）=sin2x+2倍根号2乘以cos(π/4+x)+3的最小值。
这个式子怎么化到最简啊急。

Answer 1

f(x）=sin2x+2倍根号2乘以cos(π/4+x)+3
=sin2x+2倍根号2 X (2分之根号2cosx-2分之根号2sinx)+3
=2sinxconx+2cosx-2sinx+3

追问

这个不是最简啊，我也能写到这。

追答

你看一下题目是不是有错。sin2x前面是不是有负号。

追问

没有啊。

追答

f(x）=sin2x+2倍根号2乘以cos(π/4+x)+3
=sin2x+2倍根号2 X (2分之根号2cosx-2分之根号2sinx)+3
=2sinxconx+2cosx-2sinx+3
= - [（cosx-sinx）^2-1] + 2（cosx-sinx）+3
= -(cosx-sinx)^2 + 2(cosx-sinx) +4
之后是不是就会了呢？？

Answer 2

f(x)=sin2x+2√2cos(π/4+x)+3
=2sinxcosx+2√2cos(π/4+x)+3
=(sinx+cosx)^2+2√2cos(π/4+x)+2
=2sin(π/4+x)^2+2√2cos(π/4+x)+2
=-2cos(π/4+x)^2+2√2cos(π/4+x)+4
=-2[cos(π/4+x)-√2/2]^2+5
x=3π/4时，f(x)最小=5-2(-1-√2/2)^2=5-2(3/2+√2)=2-2√2

Answer 3

Mathematica软件轻松解决，代码：

f = Sin[2 x] + 2 Sqrt[2] Cos[Pi/4 + x] + 3

TrigExpand[f]

得出式子的化简：3 + 2 Cos[x] - 2 Sin[x] + 2 Cos[x] Sin[x]

Plot[f, {x, -3 Pi, 3 Pi}] (*查看函数图像*)

FindMinimum[f, {x, -3 Pi, 3 Pi}] (*得出最小值*)

{-0.828427, {x -> -10.2102}}

即x=-10.2102时，函数f(x)取最小值-0.828427

Answer 4

f(x）=sin2x+2倍根号2乘以cos(π/4+x)+3
=sin2x+2倍根号2 X (2分之根号2cosx-2分之根号2sinx)+3
=2sinxconx+2cosx-2sinx+3
=2sinxconx+2(cosx-sinx)+3
令cosx-sinx=t，两边平方得，
1-2sinxconx=t^2，则 2sinxconx=1+t^2
于是f(x)=t^2+2t+4=(t+1)^2+3
由于t=cosx-sinx
=根号2乘以(2分之根号2cosx-2分之根号2sinx)
=根号2乘以sin(4分之π-x)
又因为负1小于等于sin(4分之π-x)小于等于正1
所以负根号2小于等于t小于等于正根号2
所以当t=-1时，f(x)有最小值3

Answer 5

f(x)=sin2x+2√2 cos⁡(π/4+x)+3=2sinxcosx+2√2 (√2/2 cosx-√2/2 sinx)+3=2sinxcosx+2cosx-2sinx+3=2(cosxsinx+cosx-sinx)+3
只能化解成这样了，再就是你可以用换元法去求解最小值