Question

【不等式证明】 高中题目

请证明不等式：
(a1+a2+...+an)^2/(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)<=a1/b1+a2/b2+...+an/bn
数列{an}总有a{i}<a{i+1} 对于数列{bn}有b{i}<b{i+1}
抱歉 是我忘记说了
数列{an} {bn}均为正数

Answer 1

题目不严谨，需要交代ai*bi>0，即ai、bi同号，题目只告诉了同为递减数列；
不然只能证明
(a1/b1+a2/b2+...+an/bn)*/(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)≥(a1+a2+...+an)^2
柯西不等式：
(a1/b1+a2/b2+...+an/bn)*(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)
≥ {(a1/b1)*(a1b1)]^1/2+...+[(an/bn)*(an*bn)]^1/2}^2
=(a1+a2+...+an)^2
具体如下：
(a1/b1+a2/b2+...+an/bn)*/(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)
= (a1)^2+(a2)^2+...+(an)^2+a1a2*(b2/b1+b1/b2)+a2a3(b3/b2+b2/b3)+...+an-1an(bn/bn-1 + bn-1/bn)
≥ (a1)^2+(a2)^2+...+(an)^2 + 2a1a2+2a2a3+...+an-1an
=(a1+a2+a3+...+an)^2
即(a1+a2+a3+...+an)^2 / (a1*b1+a2*b2+...+an*bn)≤ a1/b1+a2/b2+...+an/bn

Answer 2

总觉得有问题，不过对于正数列an和bn,
可以用数学归纳法证明,下面步骤不是严格的
n=2时，（a1*b1+a2*b2）（a1/b1+a2/b2）=a1²+a2²+a1a2(b1\b2+b2/b1)≥a1²+a2²+2a1a2=（a1+a2）²，即可证明n=2时不等式成立。
假如n=k时成立，则n=k+1时
[a1*b1+a2*b2+...+ak*bk+(ak+1)(bk+1)][a1/b1+a2/b2+...+ak/bk+(ak+1)/(bk+1)]
=(a1*b1+a2*b2+...+ak*bk)(a1/b1+a2/b2+...+ak/bk)+(ak+1)(bk+1))(a1/b1+a2/b2+...+ak/bk)+(ak+1)/(bk+1)(a1*b1+a2*b2+...+ak*bk)+(ak+1)²
≥（a1+a2+...+ak)²+(ak+1)²+(ak+1)[a1(bk+1/b1+b1/bk+1)+a2(bk+1/b2+b2/bk+1)+……ak(bk/bk+1 + bk+1/bk)
≥（a1+a2+...+ak)²+(ak+1)²+2(ak+1)（a1+a2+...+ak)
=（a1+a2+...+ak + ak+1)²
所以n=k+1时也成立

Answer 3

可以用数学归纳法证明,
n=2时，（a1*b1+a2*b2）（a1/b1+a2/b2）=a1²+a2²+a1a2(b1\b2+b2/b1)≥a1²+a2²+2a1a2=（a1+a2）²，即可证明n=2时不等式成立。
假如n=k时成立，则n=k+1时
[a1*b1+a2*b2+...+ak*bk+(ak+1)(bk+1)][a1/b1+a2/b2+...+ak/bk+(ak+1)/(bk+1)]
=(a1*b1+a2*b2+...+ak*bk)(a1/b1+a2/b2+...+ak/bk)+(ak+1)(bk+1))(a1/b1+a2/b2+...+ak/bk)+(ak+1)/(bk+1)(a1*b1+a2*b2+...+ak*bk)+(ak+1)²
≥（a1+a2+...+ak)²+(ak+1)²+(ak+1)[a1(bk+1/b1+b1/bk+1)+a2(bk+1/b2+b2/bk+1)+……ak(bk/bk+1 + bk+1/bk)
≥（a1+a2+...+ak)²+(ak+1)²+2(ak+1)（a1+a2+...+ak)
=（a1+a2+...+ak + ak+1)²
所以n=k+1时也成立

Answer 4

数学归纳法， 当n=2时成立 ，然后假设n=n时成立，证明n=n+1成立
设a1+....an=A, a1b1+...anbn=B, a1/b1+...an/bn=C
所以A^2<=BC
现在要证明 （A+a(n+1))^2<=(B+a(n+1)b(n+1))(C+a(n+1)/b(n+1))
整理消去得 2A<B/b(n+1)+Cb(n+1)
我们现在分析数列的一小部分 2an 和 anbn/b(n+1)+anb(n+1)/bn
易证左式小于等于右式
所以成立

Answer 5

这个不就是用柯西不等式嘛
(a1/b1+a2/b2+...+an/bn)(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)>=(((a1/b1)*(a1*b1))^1/2+...+((an/bn)*(an*bn))^1/2)^2=(a1+a2+...+an)^2

Answer 6

柯西不等式直接出结果吧