Question

AB是圆O的直径，弧AC的度数是60°，弧BE的度数是20°

D在弧CE上，F、G为AB上两点，角AFC=角BFD，角AGD=角BGE，求角FDG
C、D、E同旁

Answer 1

解：如图所示。为计算方便，设圆O为单位圆，圆心坐标O(0,0)，A(-1,0)，B(1,0)，C(-1/2,√3/2)，E(cos20°,sin20°)

任取狐CE上一点D，设设其坐标为(cosθ,sinθ)   (20°<θ<120°)

分别做C、E关于AB对称的点C'、E'，此二点均在单位圆上，且坐标分别为C'(-1/2,-√3/2)，E'(cos(π/9),-sin(π/9))，则F、G点分别就是C'D、E'D与AB的交点。

直线C'D的斜率k1为(sinθ+√3/2)/(cosθ+1/2)=tan(θ/2+π/6)，

直线E'D的斜率k2为[sinθ+sin(π/9)]/[cosθ-cos(π/9)]=-cot(θ/2-π/18)。

则tan∠FDG=(k2-k1)/(1+k1k2)=[-cot(θ/2-π/18)-tan(θ/2+π/6)]/[1-tan(θ/2+π/6)cot(θ/2-π/18)]=-[tan(θ/2+π/6)+tan(5π/9-θ/2)]/[1-tan(θ/2+π/6)tan(5π/9-θ/2)]=-tan[(θ/2+π/6)+(5π/9-θ/2)]=-tan(13π/18)=tan50°

所以，∠FDG=50°

Answer 2

用圆周角定理来做，圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

如图：延长CF，EG，由圆的对称性可知，CF，EG的延长线在圆上交于一点D＇（可由三角形DFG与三角形D＇FG全等得到）。连接OC，OE，AD＇，BD＇，则角COA为弧AC的圆心角，角AD＇C为弧AC的圆周角，所以角AD＇C＝角AOC／2＝30°，

同理：角BD＇E＝10°（圆周角定理）。

而角AD＇B＝90°（直径所对圆周角为90°），

所以角FDG＝角FD＇G＝90°－30°－10°＝50°

Answer 3

没有图形，C、D、E是否同旁，不好回答这个问题

Answer 4

解：如图所示。，设圆O为单位圆，圆心坐标O(0,0)，A(-1,0)，B(1,0)，C(-1/2,√3/2)，E(cos20°,sin20°)
任取狐CE上一点D，设设其坐标为(cosθ,sinθ) (20°<θ<1800°)
分别做C、E关于AB对称的点C'、E'，此二点均在单位圆上，且坐标分别为C'(-1/2,-√3/2)，E'(cos(π/9),-sin(π/9))，则F、G点分别就是C'D、E'D与AB的交点。
直线C'D的斜率k1为(sinθ+√3/2)/(cosθ+1/2)=tan(θ/2+π/6)，
直线E'D的斜率k2为[sinθ+sin(π/9)]/[cosθ-cos(π/9)]=-cot(θ/2-π/18)。
则tan∠FDG=(k2-k1)/(1+k1k2)=[-cot(θ/2-π/18)-tan(θ/2+π/6)]/[1-tan(θ/2+π/6)cot(θ/2-π/18)]=-[tan(θ/2+π/6)+tan(5π/9-θ/2)]/[1-tan(θ/2+π/6)tan(5π/9-θ/2)]=-tan[(θ/2+π/6)+(5π/9-θ/2)]=-tan(13π/18)=tan50°
所以，∠FDG=50°