Question

各路大神，求教函数 y=2√(x+3)+√(2-x)的值域的求法（详细步骤） 据说是用三角代换 答案是[√5,5]

Answer 1

用导数做
解由x+3≥0且2-x≥0
解得-3≤x≤2
由y=2√(x+3)+√(2-x)
求导得
y'=2×(1/2√(x+3))×(x+3)'+1/2√(2-x)×(2-x)'
=1/√(x+3)-1/2√(2-x)
=(2√(2-x)-√(x+3))/2√(x+3)√(2-x)
令y'=0
解得x=1
函数最值为f(1)=5,f(2)=2√5,f(-3)=√5
故函数的值域为
[√5,5]

Answer 2

令√(x+3)=sina，则√(2-x)=cosa
y=2sina+cosa
=√5*sin[a+arccos(2/√5)]
所以-√5<=y<=√5

追问

y的值肯定是非负数啊，两个令不能同时满足啊

追答

我算错了，正确算法应为：
因为(x+3)+(2-x)=5
所以令sina=√(x+3)/√5，cosa=√(2-x)/√5，其中0<=a<=π/2
y=2√5sina+√5cosa
=5sin[a+arcsin(1/√5)]
所以当a=0时，取得最小值√5，当a=arccos(1/√5)时，取得最大值5
即√5<=y<=5

追问

牛逼

追答

呵呵