Question

线性代数求解。 第4题

Answer 1

已知R(A)=R(α1，α2，α3)=3，所以α1，α2，α3线性无关
已知R(B)=R(α1，α2，α3，α4)=3，所以α1，α2，α3，α4线性相关，
α4可由α1，α2，α3唯一线性表示。（注意 这句话）
已知R(C)=R(α1，α2，α3，α5)=4，所以α1，α2，α3，α5线性无关。

R(α1，α2，α3，α5-α4)=R(α1，α2，α3，α5)=4

newmanhero 2015年8月2日21:02:44

希望对你有所帮助，望采纳。

追问

学渣想问下R(α1，α2，α3，α5-α4)=R(α1，α2，α3，α5)=4这个是怎么推导出的

追答

【理解一】
α4可由α1，α2，α3唯一线性表示。

即α4=k1α1+k2α2+k3α3，k1,k2,k3至少一个不为 0 ①
m1α1+m2α2+m3α3+m4(α5-α4)=0

m1α1+m2α2+m3α3+m4α5-m4α4=0 ，代①
(m1-k1m4)α1+(m2-k2m4)α2+(m3-k3m4)α3+m4α5=0
因为α1，α2，α3，α5线性无关，α1，α2，α3线性无关

m4=0，m1=m2=m3=0

所以α1，α2，α3，α5-α4线性无关
R(α1，α2，α3，α5-α4)=4

【理解二】
α1，α2，α3，α5线性无关，所以α5和α1α2α3的线性组合无关，即α5和α4线性无关。

那么α5-α4与α1α2α3线性无关。
所以R(α1，α2，α3，α5-α4)=R(α1，α2，α3，α5)=4