Question

线性代数，为什么由（1），（2）可以推出是同解方程组？

Answer 1

(1) 由第二个方程, A'X('表示转置)=0, b'X=0, 所以X必然是A'X=0的解，所以第二个方程的解必满足第一个方程；(2) 由r(A)=r(A,b), 设A的极大线性无关组是a1,a2,...,ar(r=r(A)), 则b一定能够由a1,a2,...,ar线性表出，否则a1,a2,...,ar,b就构成(A,b)的极大线性无关组, 即r(A,b)=r+1>r(A)矛盾。因为b能够由a1,a2,...,ar线性表出，故b'X=0这个方程可以吸收到A'X=0这个方程组里面，故而A'X=0的解也满足[A,b]'X=0的解。综合(1)(2), 两个方程是同解方程.

Answer 2

记（II）的解集为U，（III）的解集为V，则U，V均是P^n的子线性空间（P是基域）.
（1）显然（III）的解一定是（II）的解，所以V包含於U，而且V还是U的子线性空间.
（2）由AY=b有解，秩rank(A)=rank(A,b)=r，於是rank(A')=rank((A,b)').而对於齐次线性方程组MZ=0（M属於P^(j*k)为系数矩阵），解空间的维数为k-rank(M).所以维数dim(U)=dim(V)=m-r.
由於V是U的子线性空间且dim(V)=dim(U)，V=U，即（II）和（III）同解.

Answer 3

一个齐次线性方程组的解，主要是由基础解系决定，两个齐次线性方程组有相同的基础解系，就说明他们同解。
我们假设(II)的基础解系线性无关向量为b1,b2,b3……bm，而(III)的则为c1,c2,c3……cn。其中1,2,3为下标，m和n大小不确定。
如果我们可以证明m=n，而且经过换序后，有b1=c1,b2=b2……bm=cn，那么(II)(III)就同解。
由你图中的（1）得到m≥n，而且经过一定换序后，有c1=b1,c2=b2……cn=bn。
由你图中的（2）得到m=n。
这样(II)(III)就同解了。