Question

向量组A线性无关,向量组A不能由向量组B线性表示,那么B是否线性相关，为什么？求最通俗易懂的解释

都是三维向量，且都有3个向量组成

Answer 1

因为向量组A线性无关，所以（a1,a2,a3）的秩为3，又因为向量组A不能由向量组B线性表示，所以BX=A无解，即r（b1,b2,b3|a1,a2,a3）=3，所以r（b1,b2,b3）<3 所以向量组B线性相关。

设(a1,a2,...,am)是A向量组中的一个极大线性无关组构成的矩阵A'

设(b1,b2,...,bn)是B向量组中的一个极大线性无关组构成的矩阵B'

由A可以由B表述，说明存在矩阵C，满足A=BC

根据r(BC)<=r(B)得证

扩展资料：

向量组与其最大线性无关组，可互相线性表示。两向量组等价。

向量组S的任两个最大线性无关组S_1, S_2，也可互相线性表示。即S_1, S_2等价。

一个向量组的任两个最大无关组所含有的向量个数相等。即向量组的秩相等。

参考资料来源：百度百科-最大线性无关向量

Answer 2

几个线性无关的向量就构成决定了一个几维的坐标系。
所以如果向量组B的向量个数小于向量组A的向量个数。那么就无法判断B是否线性相关。
所以如果向量组B的向量个数大于等于向量组A的向量个数。那么就B一定是线性相关的。
举个例子。
二维坐标中的点肯定可以用另一个二维坐标或者是三维坐标甚至更高维数的坐标表示出来。
但用一维坐标就表示不出来。
所以如果B的个数大于等于A，只可能是B中有共线的向量无法构成比A高维度的坐标系。
而B个数小于A时，一定是无法表示A的，所以不能知道B的共线情况。

既然你做了补充。
那么就是我说的第二种情况。
B一定是线性相关的。

追问

我现在知道b是线性相关，就是不知道为什么，你说的我看不明白，可否用线性相关的定义来解释

追答

在三维坐标中。A一定可以用x，y，z来表示对吧。一共3个向量。
如果B线性无关，则B也可以用x，y，z来表示。一共三个向量。
那么要想用B表示A，只需要找到它们之间关于x，y，z的对应关系。
其实就是一个三元一次方程组。有解B就能表示A。

但是若B线性相关，就会有两个甚至全部三个方程都是线性相关的。
也就是这3个方程可以互相通过乘以系数来得到。
那么这个三元一次方程组实际上只有1个或者2个。得不到解。
也就无法用B来表示A。

这么说你能明白么?

追问

你是不是说方程组AX=0中X只有唯一解即0解，所以A能被向量组X唯一表示，而如果B线性相关则BX=0中X有无数解，则B能对应X无数个表示，所以A和B之间不存在对应关系，所以两者线性无关

追答

你可以这么理解。
但BX=0不是无数解。而是无解。
因为它一定缺少一个方向【x或y或z】上的分量。

Answer 3

你可以这么理解，因为向量组A先行无关，所以（a1,a2,a3）的秩为3，又因为向量组A不能由向量组B线性表示，所以BX=A无解，即r（b1,b2,b3|a1,a2,a3）=3，所以r（b1,b2,b3）<3 所以向量组B线性相关。我觉得这么理解比较简单。

Answer 4

这个不一定!
给你个反例:
A:
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0),e3=(0,0,1) 线性无关.
B:
b1=(1,0,0), b2=(1,1,0) 线性无关, 向量组A不能由向量组B线性表示
B:
b1=(1,0,0),b2=(1,1,0), b3=(2,1,0), 线性相关, 向量组A不能由向量组B线性表示